A Two Sample Test for Mean Vectors with Unequal Covariance Matrices in High–Dimensional Data

Abstract

In this paper, we proposed a new testing statistic for testing the equality of mean vectors from two multivariate normal populations when the covariance matrices are unknown and unequal in high–dimensional data. A new test is proposed based on the idea of keeping more information from the sample covariance matrices as much as possible. A proposed test is invariant under scalar transformations. We showed that the asymptotic distribution of proposed statistic is standard normal distribution when number of random variables approach infinity. We also compared the performance of the proposed test with other three existing tests by the simulation study. The simulation results showed that the attained significance level of proposed test close to setting nominal significance level satisfactorily. The attained power of proposed test outperforms as the other comparative tests under form of covariance matrices considered which can be arranged to block diagonal matrix structure. The attained power becomes more powerful when the dimension increases for a given sample size or vice versa, or relationship level between random variables in each sample increases. Finally, the proposed test is also illustrated with an analysis of DNA microarray data.

งานวิจัยนี้ได้นำเสนอตัวสถิติทดสอบสำหรับทดสอบสมมุติฐานเชิงสถิติความเท่ากันของเวกเตอร์ค่าเฉลี่ยระหว่าง 2 ประชากร ภายใต้ข้อกำหนดเบื้องต้นว่าข้อมูลทั้งสองตัวอย่างมีการแจกแจงปกรติหลายตัวแปร ที่ไม่ทราบเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของประชากรแต่ทราบว่าไม่เท่ากันและเป็นอิสระกัน สำหรับข้อมูลมิติสูง การพัฒนาตัวสถิติทดสอบมีพื้นฐานจากแนวคิดการเก็บรักษาข้อมูลจากเมทริกซ์ความแปรปรวนของตัวอย่างให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ ตัวสถิติทดสอบที่นำเสนอมีคุณสมบัติไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงสเกลาร์และมีการแจกแจงปรกติมาตรฐานโดยประมาณเมื่อจำนวนตัวแปรสุ่มมีจำนวนมาก ผลการศึกษาด้วยการจำลองข้อมูลพบว่าตัวสถิติทดสอบที่นำเสนอมีระดับนัยสำคัญที่ได้รับเข้าใกล้ระดับนัยสำคัญที่กำหนดอย่างน่าพอใจและมีกำลังการทดสอบที่ได้รับมากกว่าตัวสถิติทดสอบอื่น ๆ เมื่อเมทริกซ์ความแปรปรวนของตัวอย่างสามารถจัดให้มีโครงสร้างแบบเมทริกซ์แนวเส้นทแยงมุมเป็นบล็อก โดยกำลังการทดสอบที่ได้รับของตัวสถิติทดสอบที่นำเสนอจะเพิ่มสูงขึ้นเมื่อจำนวนตัวแปรสุ่มมีจำนวนเพิ่มขึ้นเมื่อขนาดตัวอย่างคงที่ หรือในทางกลับกัน หรือตัวแปรสุ่มภายในแต่ละตัวอย่างมีระดับความสัมพันธ์เพิ่มมากขึ้น และได้ประยุกต์ใช้ตัวสถิติทดสอบที่นำเสนอกับข้อมูลจริงเกี่ยวกับข้อมูลไมโครอาร์เรย์ของดีเอ็นเอ